元素,设置生成器表示法,相交集,维恩图
集概述
在数学上,一个集合是对象的集合或列表。
集合不仅包含数字,还可以包含任何内容,包括:
- 冰箱里的食物;
- 太阳系中的行星;
即使集合可以包含任何内容,但它们通常会引用符合某种模式的数字或以某种方式相关的数字,例如:
- 小于10的正偶数集合:(0,2,4,6,8);
- 12号因素集:(1,2,3,4,6,12)。
设置符号
集合中的对象称为元素 ,下列符号或约定与集合一起使用:
- 单个大写字母用于识别集合 - 例如J,E或F ;
- 小写字母或数字用于集合中的元素;
- 大括号{}表示集合中元素的列表;
- 逗号用于分隔集合元素。
因此,设置符号的例子是:
J = {木星,土星,天王星,海王星}
E = {0,2,4,6,8};
F = {1,2,3,4,6,12};
元素顺序和重复
集合中的元素不必以任何特定的顺序,因此上面的集合J也可以写成:
J = {土星,木星,海王星,天王星}
要么
J = {海王星,木星,天王星,土星}
重复元素也不会更改集合,因此:
J = {木星,土星,天王星,海王星}
和
J = {木星,土星,天王星,海王星,木星,土星}
是同一套,因为它们只包含四个不同的元素:木星,土星,天王星和海王星。
集合和椭圆
如果在一个集合中存在无限或无限数量的元素,则使用省略号(...)来表示该集合的模式在该方向上永远持续。
例如,自然数的集合从零开始,但没有结束,所以它可以写成如下形式:
{0,1,2,3,4,5, ... }
另一组没有结束的特殊数字是一组整数。 因为整数可以是正数也可以是负数,但是该集合使用两端的椭圆来表示该集合在两个方向上永远持续:
{ ... ,-3,-2,-1,0,1,2,3, ... }
椭圆的另一个用途是填充大集合的中间部分,例如:
{0,2,4,6,8, ..., 94,96,98,100}
省略号表明模式 - 仅偶数 - 通过该集的未写入部分继续。
特殊设置
经常使用的特殊设置使用特定的字母或符号进行标识。 这些包括:
- Ø或{} - 空集 - 一个不包含元素的集合;
- U - 通用集合 - 包含与特定集合定义有关的所有元素的集合;
- Z - 所有整数的集合: Z = { ... ,-3,-2,-1,0,1,2,3, ... };
- N - 自然数(正整数): N = {0,1,2,3,4,5, ... }。
名册与描述性方法
写出或列出一套集合中的元素,例如我们太阳系中的一组内部或陆地行星,被称为名册记号或名册方法 。
T = {水银,金星,地球,火星}
另一种识别集合元素的方法是使用描述性方法,该方法使用简短语句或名称来描述集合,例如:
T = {地球行星}
设置生成器表示法
名册和描述性方法的另一种方法是使用set-builder符号 ,这是一种描述该集合元素遵循的规则(使其成为特定集合成员的规则)的简写方法。
大于零的自然数集合的建造者符号表示为:
{x | x∈N, x > 0 }
要么
{x:x∈N, x > 0 }
在set-builder表示法中,字母“x”是一个变量或占位符,可以用任何其他字母替换。
速记字符
用于设置构建器表示法的速记字符包括:
- 竖线或冒号( |或:字符) - 是分隔符读取的;
- 小写的epsilon( ∈字符) - 被读作为元素;
- ∉字符 - 被认为不是一个元素。
所以, {x | x∈N, x > 0 }将被读作:
“所有x的集合, 例如 x 是自然数集合中的一个元素, x大于0”。
集和维恩图
维恩图 - 有时被称为集合图 - 用于显示不同集合的元素之间的关系。
在上图中,维恩图的重叠部分显示了集合E和F(两个集合共有的元素)的交集。
下面列出了该操作的设置生成器表示法(倒置的“U”表示相交):
E∩F= {x | x∈E , x∈F}
维恩图角落中的矩形边框和字母U代表此操作考虑的所有元素的通用集合:
U = {0,1,2,3,4,6,8,12}